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Si consideri un'equazione di primo grado ax+by+c=0 nelle due incognite x e y. Questa ammette infinite soluzioni, basta assegnare alla x o alla y un valore qualunque, si può così ricavare il valore dell'altra variabile, Ciascuna coppia di soluzioni individua un punto nel piano cartesiano. Dimostreremo che l'insieme di punti che verificano l'equazione costituisce una retta.
Siano A e B due punti di una retta non parallela agli assi, P un altro punto qualunque. Indichiamo con A1,B1,P1 le proiezione dei suddetti pinti sull'asse x, mentre A2,B2,C2 le proiezioni sull'asse y.
Per il teorema di Talete
AP:AB=A1P1:A1B1=A2P2:A2B2
poichè
A1B1=xB-xA
A1P1=x-xA
A2B2=yb-ya
A2P2=y-yA
si ottiene
Moltiplicando ambo i membri per yB-yA si può isolare la y e si ottiene un'equazione del tipo y=mx+q dove
mentre
Il parametro m prende il nome di coefficiente angolare della retta.
Se la retta è parallela all'asse y la sua equazione è x=k, dove k è l'ascissa comune a tutti i punti della retta.
Un sistema di riferimento in un piano è costituito da due rette perpendicolari che chiamiamo asse x (o asse delle ascisse) e asse y (o asse delle ordinate).Il loro punto di intersezione è detto origine O degli assi cartesiani.
Sull'asse x si prende un punto U a cui si attribuisce l'ascissa 1. Pertanto ad ogni punto dell'asse x resta così associato un'ascissa, cioè un numero.
Allo stesso modo si procede per l'asse y.
In questo modo è possibile associare ad ogni punto del piano una coppia di numeri (x;y) che prendono il nome di coordinate del punto.
La prima coordinata prende il nome di ascissa, la seconda il nome di ordinata.
Gli assi cartesianio suddividono il piano in quattro quadranti numerati secondo lo schema della figura.
I segni delle cordinate dei punti nei singoli quadranti sono:
nel I (+;+);
nel II (-;+);
nel III (-;-);
nel IV (-;+).
Tutti i punti dell'asse x hanno ordinata uguale a zero, mentre tutti i punti dell'asse y hanno ascissa uguale a zero.
Le rette parallele all'asse x hanno la stessa ordinata, mentre le rette parallele all'asse y hanno la stessa ascissa.