Teorema di unicità del limite

Se per x che tende a x₀ la funzione f(x) ha per limite l , allora tale limite è unico.

Dimostrazione:

Supponiamo per assurdo che la funzione abbia due limiti l1 ed l2. Allora se scelgo

$\varepsilon< \left | \frac{l_1-l_2}{2} \right |$

non possono verificarsi contemporaneamente

$l_1-\varepsilon < f(x)< l_1+\varepsilon$

$l_2-\varepsilon < f(x)< l_2+\varepsilon$

nel disegno sottostante si è scelto ε minore si |l₁-l₂|/2 si vede che i due intervalli (l1-ε,l1+ε) e (l2-ε,l2+ε) sono disgiunti e quindi non possono verificarsi contemporaneamente le due relazioni di sopra

unicità

Teorema di permanenza del segno

Se la funzione f(x) per x che tende a x₀ tende ad un valore l da zero allora esiste un intorno completo di x₀ escluso al pi x₀, in cui la funzione assume lo stesso valore di l .

Dimostrazione:basta prendere ε<|l| pertanto esiste un intorno in cuise l<0 l-ε< f(x)< l+ε<0 in quanto per ipotesi l+ε<0, perciò la f(x)<0se l>0 0<l-ε< f(x)< l+ε in quanto per ipotesi l-ε>0, perciò la f(x)>0Di conseguenza la f(x) in tale intorno assume sempre lo stesso segno escluso al più x₀