Disequazioni

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Supponiamo di dover risolvere la disequazione di secondo grado ax2+bx+c <0,

Se il trinomio ax2+bx+c possiede zeri distinti se il D>0 . In questo caso, indicato con x1 e x2 tali zeri il trinomio si scompone come

a(x-x1)(x-x2)

pertanto per risolvere una disequazione si deve studiare il segno del trinomio, per fare ciò occorre confrontare i segni dei tre fattori a, x-x1,x-x2 

Il segno di x-x1 dipende dal valore di x, e si studia imponendo x-x1>0, quindi questo fattore è positivo per x>x1, negativo in caso contrario.

Stesso ragionamento per x-x2.

Il segno del prodotto si studia mediante un grafico che riporta i segni dei singoli fattori

   a>0          a<0                
segno 1            diseq2

Le soluzioni vanno ricercate negli intervalli in cui il segno corrisponde la verso della disequazione, 

Per esempio se a>0 ed il verso è maggiore le soluzioi sono per valori esterni, cioè x<x1 oppure x>x2.

 Se D<0 . Il segno del trinomio è lo stesso del coefficiente a del termine di secondo grado, pertanto se a e il verso della disequazione sono concordi la disequazione è sempre verificata, mai se sono discordi.

Le soluzioni che si  che si ottengono naturalmente sono le stesse xhe si ottengono usando il metodo grafico.

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Supponiamo di dover risolvere la disequazione di secondo grado ax2+bx+c <0,

Si considera la parabola y=ax2+bx+c , essendo il verso della disequazione minore, la ricerca delle soluzioni è equivalente a trovare sull'asse ascisse, quelle x per i quali le corrispondenti ordinate y=ax2+bx+c dei punti della parabola sono negative. Analoghe considerazioni si fanno se il verso è maggiore.

 

Occorre quindi rappresentare, non necessariamente in maniera precisa la parabola y=ax2+bx+c

 Le caratteristiche fondamentali che bisogna individuare sono due:

  • la concavità della parabola, che si determina con il segno del coefficiente a del termine di secondo grado.
    • è verso l'alto se a>0;
    • versoil basso se a<0;
  • l'esistenza di eventuali intersezioni con gli assi.
    • due intersezioni distinte se Δ>0;
    • nessuna soluzione se Δ<0;
    • due soluzioni coincidenti se Δ=0.

 

Per individuare le soluzioni della disequazioe occorre disegnare la parabola sulla base delle precedenti caratteristiche.

Le soluzioni corrispondono ai valori di x dei punti le cui ordinate hanno un segno che coincide col verso della disequazione.

La seguente tabella ci permette di distinguere i vari casi.

Esercizio 1

 

     verso della disequazione--------------->

>

<

 D>0 a>0   parab7

soluzioni per valori esterni

x<x1 ν  x>x2  

soluzioni per valori esterni

xx1 ν  xx2  

 soluzioni per valori interni

x1<x<x2

soluzioni per valori interni

x1xx2

D>0  a<0   parab6  soluzioni per valori interni

x1<x<x2 

 soluzioni per valori interni

x1<x<x2

soluzioni per valori esterni

x<x1 ν  x>x2 

soluzioni per valori esterni

x≤x1 ν  x≥x2  

 D=0  a>0  delta uguale  x≠x1  sempre verificata  mai verificata x=x1
 D=0 a<0   delta ugaua   mai verificata  x=x1   x≠x1   sempre verificata
D<0 a>0 parab5  sempre verificata  sempre verificata  mai verificata  mai verificata
D<0 a<0 delta minore   mai verificata   mai verificata  sempre verificata  sempre verificata

 

 

 

 Metodo grafico con geogebra

 

 

 

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Per risolvere un disequazione di grado superiore al secondo grado bisogna seguire questi passaggi:

  1. occorre portare tutto al primo membro;
  2. scomporre i polinomio;
  3. studuiare il segno du ciascun fattore di primo o secondo grado imponendoli maggiuori di zero:
  4. riportare i segni di singoli fattori;
  5. utilizzando la regola del prodotto dei segni si stabilisce del polinomio nei vari intervalli;
  6. le soluzioni vanno ricercati in quegli intervalli il cui segno crrisponde al verso.

 

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Per risolvere una disequazione di secondo grado occorre prima di tutto scriverla a forma normale ossia nella forma  

ax2+bx+c < 0

dove il verso può essere anche un altro.

 A questo punto si può seguire uno dei seguenti metodi.