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Teorema di unicità del limite

Se per x che tende a x0 la funzione f(x) ha per limite l , allora tale limite è unico.

Dimostrazione:

Supponiamo per assurdo che la funzione abbia due limiti l1 ed l2. Allora se scelgo 

non possono verificarsi contemporaneamente 

 

 

 

nel disegno sottostante si è scelto ε minore si |l1-l2|/2 si vede che i due intervalli (l1-ε,l1+ε) e  (l2-ε,l2+ε) sono disgiunti e quindi non possono verificarsi contemporaneamente le due relazioni di sopra

unicità

Teorema di permanenza del segno

Se la funzione f(x) per x che tende a x0 tende ad un valore l  da zero allora esiste un intorno completo di x0 escluso al pi x0, in cui la funzione assume lo stesso valore di l .

Dimostrazione:basta prendere ε<|l| pertanto esiste un intorno in cuise l<0   l-ε< f(x)< l+ε<0 in quanto per ipotesi l+ε<0, perciò la f(x)<0se l>0 0<l-ε< f(x)< l+ε in quanto per ipotesi l-ε>0, perciò la f(x)>0Di conseguenza la f(x) in tale intorno assume sempre lo stesso segno escluso al più x0

 

Teorema del confronto

Se le funzioni g(x) ed h(x) per x che tende ad x0 tendono allo stesso valore e in un intorno completo di x0 escluso al più x0, si ha

allora anche la f(x) tende ad l

Dimostrazione:   

poiché fissato ε esiste un intoro di  x0, in cui  l-ε< g(x)< l+ε e l-ε< h(x)< l+ε  quindi per l'ipotesi  l-ε< g(x)<f(x)<h(x)< l+ε di conseguenza f(x) tende ad l

Teorema di unicità del limite

 

Supponiamo che 

         e               

 

allora

 

 

Quando non tutti e due i limiti sono finiti si possono presentare i seguenti casi:

  • uno dei due è finito diverso da zero e l'altro infinito il limite vale infinito;
  • tutti e due limiti valgono infinito allora il limite vale infinito;
  • un  limite vale no dei due vale + e l'altro - si ha una    {tooltip class="tooltips tooltips-effect-5"}forma indeterminata{end-link} Caso in cui non è possibile ricavare il limite della funzione composta dai limiti di ciascuna singola funzione{end-tooltip} +∞-∞

Dimostrazione : in allestimento

Il tuo testo...

 

Categoria: Teoremi sui limiti
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