Ordine di infinitesimo

Date due funzioni f(x) che possiedono un infinito in x₀, possono presentarsi quattro situazioni differenti

f(x) è un infinitesimo di ordine superiore se
$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\pm \infty$
f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g(x)
$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$
f(x) è un infinitesimo dello stesso ordine se
$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=l\neq 0$
f(x) e g(x) sono infiniti non confrontabili se non esiste il limite del rapporto

In altre parole una funzione f(x) è un infinitesimo di ordine superiore in x₀ rispetto ad una funzione g(x) se tende più rapidamente a zero

Per esempio la funzione f(x)=x² è un infinito di ordine superiore in 0 rispetto a g(x)=x

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}x=0$

Sia f(x) è un infinitesimo in x₀, diciamo che f(x) è un infinitesimo di ordine α rispetto ad un'infinitesimo g(x) preso come riferimento, detto infinitesimo campione, se

$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)^\alpha }=l\neq 0$

In genere si utilizza come infinitesimo campione in x₀ finito la funzione

$x-x_0$

mentre per x->∞ si considera la funzione

g(x)=1/x.

Se f(x) è un infinitesimo di ordine α dla f(x) , poichè

$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)^\alpha }=l\neq 0$

si puo scrivere come

$f(x)=l\cdot g(x)^\alpha +h(x)$

dove h(x) è un infinitesimo di ordine superiore

$l\cdot g(x)^\alpha$ si chiama parte principale, mentre h(x) è un infinitesimo d'ordine superiore