Supponiamo che 

         e               

 

allora

 

 

Dimostrazione : in allestimento

 

Se la funzione f(x) per x che tende ad x0 tende ad l diverso da zero allora esiste un intorno completo I di x0 escluso al più x0, in cui la funzione assume lo stesso segno di l.

Dimostrazione:basta prendere ε<|l| pertanto esiste un intorno in cui

se l<0   l-ε< f(x)< l+ε<0 in quanto per ipotesi l+ε<0, perciò la f(x)<0

se l>0 0<l-ε< f(x)< l+ε in quanto per ipotesi l-ε>0, perciò la f(x)>0

Di conseguenza la f(x) in tale intorno assume sempre lo stesso segno escluso al più x0

 

Supponiamo che 

         e               

allora

 

Quando non tutti e due i limiti sono finiti si possono presentare i seguenti casi:

  • uno dei due è finito diverso da zero e l'altro infinito il limite vale infinito;
  • tutti e due limiti valgono infinito allora il limite vale infinito;
  • un  limite vale no dei due vale + e l'altro - si ha una    {tooltip class="tooltips tooltips-effect-5"}forma indeterminata{end-link} Caso in cui non è possibile ricavare il limite della funzione composta dai limiti di ciascuna singola funzione{end-tooltip} +∞-

Dimostrazione : in allestimento

 

Supponiamo che 

         e               

con l ed m  valori finiti  allora

 

Quando non tutti e due i limiti sono finiti si possono presentare i seguenti casi:

  • uno dei due è finito diverso da zero e l'altro infinito il limite vale infinito;
  • tutti e due limiti valgono infinito allora il limite vale infinito;
  •  uno dei due vale zero e l'altro è infinito si ha una    {tooltip class="tooltips tooltips-effect-5"}forma indeterminata{end-link} Caso in cui non è possibile ricavare il limite della funzione composta dai limiti di ciascuna singola funzione{end-tooltip} 0·∞

 

Dimostrazione : in allestimento

 

 
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