Teorema: In un triangolo qualunque la somma di due lati è sempre maggiore del terzo

Ipotesi: ABC è un triangolo

Tesi: AB+AC>AC

somma lati maggiore terzo latoDato il triangolo ABC, prolunghiamo il lato AB di un segmento AD congruente ad AC

 in quanto l'angolo BCD contiene DCA che è congruente a BDC poichè sono angoli alla base di un triangolo isoscele.

Quindi   BD= AB+AD=AB+AC > BC in quanto lati opposti nel triangolo ABD.

 

Teorema: In un triangolo ad angolo maggiore sta opposto lato maggiore

trianganmag

Dimostrazione: dimostriamo il teorma per assurdo, ipotizziamo che la tesi sia falsa, cioè che AC<AB.

Ma se cosi fosse β sarebbe minore di α ma questo contraddice l'ipotesi. Pertanto la tesi è vera

 

Teorema: in un triangolo, un'angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti

 

 

Ipotesi:   ABC è un trianglo qualunque

Tesi:      

angolo esternoConsideriamo il punto medio D del lato AC, si FD il prolungamento del segmento BD ad esso equivalente.

I triangoli BDC  e CDF sono equivalenti per il primo criterio di congruenza, avendo due lati congruenti e l'angolo fra essi compreso.

 

 

 

 

 

angolo esterno 2

Di conseguenza . Quest'ultimo angolo è una parte dell'angolo esterno pertanto

 

da cui si ottiene la tesi.

Allo stesso modo si può dimostrare che anche l'altro angolo intero non adiacente è minore dell'angolo esterno.

Teorema: in un triangolo a lato maggiore sta opposto angolo maggiore

disuguaglianza

Dimostrazione

 lato maggiore angolo maggiore

Sia D tale che  pertanto il triangolo ACD è isoscele e gli angoli alla base sono congruenti. L'angolo CDA è esteno al triangolo DCB, quindi per il teorema dell'angolo esterno è maggiore dell'angolo  CBA. Valgono quindi le seguenti relazioni da cui si deduce la verità della tesi

Fra gli elementi di un triangolo valgono i seguenti teoremi che esprimono relazioni fra essi:

 

 

 

Video sulle disuguaglianze fra elementi di un triangolo