Radicali (da completare)
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Radice di un radicale
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Razionalizzazione del
denominatore
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Radicali doppi
Partiamo dall’equazione b=an , dove a e n
sono noti. Sappiamo che questa è
l’operazione di potenza. Inversamente, nota la potenza b è possibile determinare
la base a nel caso si conosca l’esponente n, sia l’esponente n nel caso si
conosca la base a.
Quindi all’operazione di elevamento di potenza corrispondono due operazioni
inverse.
Nota la potenza b e l’esponente n, la ricerca della base a definisce
l’operazione di estrazione di radice che si indica con
che consiste nella ricerca di quel numero a che elevato alla n-esima potenza dia
b
per risultato.
Il numero b si chiama radicando, n si chiama indice della radice, a si chiama
radice ennesima di b
ÛSommario
Il valore di un radicale non muta se si dividono o si
moltiplicano il suo
indice e l’esponente del suo radicando per uno stesso numero, ossia
Da questa proprietà discendono due possibilità:
semplificazione tra indice ed esponente del radicando;
riduzione ad uno stesso indice di due o più radicali, calcolando il minimo
comune multiplo tra gli indici dei radicali dati (m.c.i.), moltiplicando
l’esponente del radicando per il quoziente che si ottiene dividendo il m.c.i.
per ciascun indice.
Esempi
a) per la proprietà invariantiva si divide l’indice e
l’esponente del radicando per tre
b) si dividono tutti gli esponenti dei singoli fattori e
l’indice per lo stesso numero
c) non si può semplificare indice ed esponente perché a3 e b3
sono addendi non fattori
d) per la proprietà invariantiva sono uguali perché ottenuti
moltiplicando indice ed esponenti dei fattori del radicando per uno stesso
numero (tre)
Il prodotto (La divisione) di radicali si può fare solo quando essi hanno lo
stesso indice, in questo caso il prodotto (divisione) è uguale ad un radicale
che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto (la divisione)
dei radicandi, cioè:
Se i radicali non hanno lo stesso indice si sostituiscono con due radicali
equivalenti che abbiano lo stesso indice applicando la proprietà invariantiva.
Per indice si prende il m.c.i.
Esempi
Un radicale come:
può essere scritto come prodotto di tre radicali
In generale dato il radicale
se m
³ n,
sia q il quoziente della divisione di m con n , ed r il resto allora
m=n×q+r, pertanto
Si osserva che è possibile trasportare un fattore solo se il suo esponente è
maggiore o uguale l’indice della radice, in questo caso l’esponente del fattore
che va fuori della radice è uguale al quoziente della divisione tra esponente e
indice, mentre l’esponente del fattore che resta dentro la radice è uguale al
resto.
ÛSommario
In certe situazioni può essere utile
trasportare un fattore dentro il segno di
radice. Tale fattore si può trasportare sotto il segno di radice purchè si
moltiplichi il suo esponente per l’indice:
Esempio:
Due o più radicali si dicono simili, quando hanno lo stesso indice, lo stesso
radicando, e differiscono eventualmente, solo per il fattore che li moltiplica
(coefficiente del radicale)
La somma algebrica di due radicali simile è un radicale simile ai dati, che ha
per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti
Esempio:
