La parabola (in allestimento)
| Def. |
La parabola si definisce come il luogo geometrico dei punti che hanno la stessa distanza da un punto fisso detto fuoco ed una retta fissa direttrice. |
Nella figura si vede che PF=PK e QH=FQ
La parabola è simmetrica rispetta ad una retta che passa per il fuoco, nella figura l'asse di simmetria è parallela all'asse y.
| Def. |
Si chiama vertice il punto di intersezione tra l'asse della parabola e la parabola stessa. |
| Def. |
Se il fuoco si trova sopra la direttrice, cioè b>d,si dice che la parabola ha la concavità verso l'alto, in caso contrario la concavità è verso il basso. |
Ora si pone il problema di ricavare l'equazione di una parabola parallela all'asse y. Per quanto detto nella se P è un punto qualunque della parabola deve verificarsi la relazione
PF=PK
che è equivalente a
PF2=PK2
PF2=(a-x)2+(b-y)2 e PK2=(y-d)2
quindi vale l'uguaglianza (a-x)2+(b-y)2=(y-d)2
sviluppando si ottiene a2-2ax+x2+b2-2by+y2=y2-2dy+d2
portando tutto al primo membro si ottiene
a2-2ax+x2+b2-2by+y2-y2+2dy-d2=0
semplificando
a2-2ax+x2+b2-2by+2dy-d2=0
x2-2ax+ a2+b2-d2
y= – ———————————
2(d-b)
posto
|
1
(1) a=– ——— 2(d-b) |
a
(2) b= —— (d-b) |
a2+b2-d2 (3) c=– ———— 2(d-b) |
queste relazioni ci permettono di ricavare i parametri a,b,c che compaiono nell'equazione generica
y=ax2+bx+c
Si osservi che se d<bÞa>0 , cioè se la parabola ha la concavità verso l'alto a>0
Fuoco, asse e direttrice di una parabola
Si vuole ricavare fuoco F(a;b) e la direttrice y=d di una parabola avente equazione nota. Per fare ciò basta ricavare le formule inverse.
Si ottengono
| direttrice |
1-D y=——— 4a |
|
| fuoco F( | -b 1-D
—;—— 2a 4a |
) |
| vertice V( | -b -D
—;— 2a 4a |
) |
| asse x=- |
-b ——— a |
|
Posizione reciproca fra retta e parabola
Per trovare i punti di intersezione fra retta e parabola occorre risolvere il sistema di secondo grado formato dalle equazioni della retta e della parabola. Le soluzioni sono le coordinate dei punti di intersezione.
Si possono presentare tre distinti casi:
-
Se le soluzioni sono reali e distinte , la retta è secante la parabola;
-
Se le soluzioni sono reali e coincidenti , la retta è tangente alla parabola;
-
Se le soluzioni sono immaginarie , la retta è esterna alla parabola;
Se la retta è parallela all'asse y la retta interseca interseca la parabola in punto
Nella figura la retta r è esterna, la retta t è tangente, la retta s è secante.
Tangenti alla parabola in un punto
Per determinare la tangente in un punto P(x0;y0) ad una parabola di equazione nota occorre considerare l'equazione del fascio di rette passante per il punto, tale fascio ha equazione
y-y0=m(x-x0)
Si risolve il sistema formato dall'equazione della parabola e il fascio di rette, si deve determinare il coefficiente angolare m della retta del fascio che sia tangente. Per ricavarlo si impone che il sistema abbia soluzioni reali e coincidenti.
Ciò si verifica quando l'equazione di secondo grado che si ottiene dopo aver usato il metodo il metodo di sostituzione ha discriminante nullo.
Condizioni per determinare l'equazione di una parabola
L'equazione di una parabola y=ax2+bx+c con asse parallelo all'asse y dipende dai tre parametri a,b e c
Si devono avere tre condizioni indipendenti per risolvere il sistema di tre equazioni nelle tre incognite a,b e c.
Queste condizioni possono essere le seguenti:
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Condizione |
Procedimento |
| conoscenza di tre punti | condizione di appartenenza dei tre punti |
| conoscenza del vertice e della direttrice | si utilizzano le formule del vertice e della direttrice |
| conoscenza del fuoco e del vertice | si utilizzano le formule del fuoco e della direttrice |
| conoscenza di due punti e la tangente in uno di essi | condizione di appartenenza dei due punti e tangenza |