I logaritmi

 Definizione

Supponiamo di voler trovare l'esponente a della potenza 3^a per ottenere 81. Questa è un'operazione inversa della potenza. Anche i radicali sono operazioni inverse della potenza, in essi si deve ricavare la base, ora invece il problema è ricavare l'esponente.

La soluzione prende il nome di logaritmo in base 3 di 81. Più in generale si dà la seguente definizione:

Pertanto le seguenti relazioni 

x=log_ab    e     a^x=b

sono equivalenti.

Il numero b deve essere positivo in quanto è uguale ad una potenza con base positiva.

Essendo il logaritmo una operazione inversa della potenza  valgono le due uguaglianze

log_aa^b=b e a^logab=b

Si osservi che log_aa=1 e log_a1=0.

Sommario

Proprietà

• Logaritmo del prodotto

Il logaritmo del prodotto di due o più numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori, cioè

Dimostrazione

posto log_ab=x e log_ac=y allora a^x=b e a^y=c quindi bc=a^xa^y=a^x+y

cioè x+y=log_a(bc)  ma x+y=log_ab+log_ac    c.v.d.

• Logaritmo del potenza

Il logaritmo della potenza di un numero è uguale dell'esponente di tale potenza per il logaritmo della base

Dimostrazione

posto log_ab=y   perciò a^y=b e   (a^y)^x=b^x  ma (a^y)^x=a^yx =a^yx  perciò log_ab^x=yx essendo y= log_ab allora log_ab^x=xlog_ab

  c.v.d.

Sommario

• Logaritmo del rapporto

Il logaritmo del rapporto di due o più numeri è uguale al logaritmo del numeratore meno il logaritmo del denominatore, cioè

Dimostrazione

posto

log_a(b/c)=log_a(bc^-1)=

per il logaritmo del prodotto è uguale a      =log_ab+log_ac^-1

per il logaritmo della potenza      =log_ab-log_ac  c.v.d.

Sommario

• Cambiamento di base

Si vuole trovare la relazione che intercorre fra il logaritmo di un numero in una base a e il logaritmo dello stesso numero in un'altra base c.

Dimostrazione

posto y=log_ab e x=log_cb

allora a^y=b e c^x=b quindi c^x=a^y

calcoliamo il logaritmo in base a di entrambe i membri

otteniamo          log_ac^x=log_aa^y

quindi applicando il logaritmo della potenza

otteniamo          xlog_ac=ylog_aa  cioè xlog_ac=y

sostituendo a x ed y le relazioni  iniziali si ha

log_cb∙log_ac=log_ab

perciò si ottiene la regola del cambiamento di base del logaritmo.