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Consideriamo il problema di determinare la velocità segnata dal tachimetro di una macchina conoscendo la legge oraria s(t)=0.1t2 nell'istante t=10, pertanto si deve determinare la cosidetta velocità istantanea
Per definizione la velocità media di un corpo è data dal rapporto dello spazio con il tempo impiegato a percorrerlo, cioè
s(t1)-s(t0) Δs
vm=—————— = ——
t 1-t0 Δt
Preso t0=10 sec. e t1 vicinissimo a 10 sec., possiamo calcolare la velocità dall'istante t0 all'istante t1,
consideriamo la tabella seguente
tempo t (in sec.) |
intervallo (in sec.) |
spazio percorso dall'inizio ( in metri) |
spazio percorso da 10 sec. a t (in metri) |
velocità in m/s |
| 11.000 | 1.000 | 43.560 | 7.560 | 7.560 |
| 10.500 | 0.500 | 39.690 | 3.690 | 7.380 |
| 10.400 | 0.400 | 38.937 | 2.937 | 7.344 |
| 10.300 | 0.300 | 38.192 | 2.192 | 7.308 |
| 10.200 | 0.200 | 37.454 | 1.454 | 7.272 |
| 10.100 | 0.100 | 36.724 | 0.724 | 7.236 |
| 10.050 | 0.050 | 36.361 | 0.361 | 7.218 |
| 10.040 | 0.040 | 36.289 | 0.289 | 7.214 |
| 10.030 | 0.030 | 36.216 | 0.216 | 7.211 |
| 10.020 | 0.020 | 36.144 | 0.144 | 7.207 |
| 10.010 | 0.010 | 36.072 | 0.072 | 7.204 |
| 10.001 | 0.001 | 36.007 | 0.007 | 7.200 |
| 10.000 | 0.000 | 36.000 | 0.000 | ===== |
Dall'esempio si osserva che prendendo t1 sempre più vicino a 10 sec. la velocità si avvicina a 7.2 m/s.
Questo valore coincide con quello che come si vedrà in termini rigorosi costituisce il limite per x tendente a 10 che si indica con la seguente notazione
lim v(t)
t->10
Definizione di limite finito per x tendente ad un valore finito
Dall'esempio introduttivo si osserva che quando t si avvicina a 10 secondi la velocità si avvicina a 7.2 m/s.
ne scaturisce la seguente definizione:
Definizione. (vedi Fig.)
Diciamo che il limite di f(x) per x che tende ad x0 vale l, in simboli
lim f(x)=l
x->x0
se comunque si prende e>0 esiste un intorno I(x0) completo del punto di accumulazione x0 in modo tale che per ogni x di I(x0) escluso al più il punto x0 si ha:
| f(x)-l |<e
o in maniera equivalente
l-e<
f(x)< l+e
Osservazione la relazione rappresenta due disuguaglianze
1) l-e< f(x)
2) f(x)< l+e
Esempio
Verificare che
lim (3x-5)=1
x->2
dobbiamo quindi trovare un intorno completo di 2 in modo tale che per ogni x appartenente a tale intorno si verifica
1-e< 3x-5< 1+e
si deve risolvere il sistema formato dalle due disequazioni
1) 1-e< 3x+5
2) 3x+5< 1+e
e verificare che fra le soluzioni di tale sistema vi sia un intorno completo di 2
Sommario
Limite destro e sinistro di una funzione in punto
Definizione Diciamo che il limite di f(x) per x che tende ad x0 da destra vale l, in simboli
lim f(x)=l
x->x0+
se comunque si prende e>0 esiste un intorno destro I(x0+) del punto di accumulazione x0 in modo tale che per ogni x a tale intorno escluso al più il punto x0 si ha:
| f(x)-l |<e
o in maniera equivalente
l-e< f(x)< l+e
La differenza con la definizione di limite sta nel fatto che l'intorno di x0 in cui
| f(x)-l |<e
è un intorno destro e non un intorno completo.
Analoga definizione si dà per il limite sinistro
Definizione di limite finito per x tendente ad infinito
Definizione. (vedi Fig.)
Diciamo che il limite di f(x) per x che tende ad ∞ vale l, in simboli
lim f(x)=l
x->∞
se comunque si prende e>0 esiste un intorno I(∞) completo di infinito in modo tale che per ogni xєI(∞) si ha:
| f(x)-l |<e
o in maniera equivalente
l-e< f(x)< l+e
In altre parole la f(x) tende ad l per x tendente ad ∞, quando scelto un qualunque intorno di l si trova un numero reale M tale che per ogni |x|>M l'immagine cade nell'intorno scelto di l.
Definizione di limite infinito per x tendente ad un valore finito
Definizione. (vedi Fig.)
Diciamo che il limite di f(x) è ∞ per x che tende a d un valore finito in simboli
lim f(x)=∞
x->x0
se comunque si prende un M>0 esiste un intorno completo di x0 I(x0) in modo tale che per ogni xєI(x0) si ha:
| f(x)|>M
In altre parole la f(x) tende ∞, quando scelto un qualunque intorno di infinito l(∞) si trova un intorno di x0 I(x0) in modo che le immagini dei punti di I(x0) escluso x0 stiano in un intorno completo di infinito.
Definizione di limite infinito per x tendente ad infinito
Definizione. (vedi Fig.)
Diciamo che il limite di f(x) è ∞ per x che tende ad infinito in simboli
lim f(x)=∞
x->∞
se comunque si prende un M>0 esiste un intorno completo di infinito I(∞) in modo tale che per ogni xєI(∞) si ha:
| f(x)|>M
Riepilogo definizioni di limite
Ora supponiamo che x0 ed l possano più in generale assumere valori finiti oppure siano ∞, pertanto I( x0) ed I(l) possono essere intorni completi o intorni di infinito, diamo quindi una definizione generale che riassume i quattro casi visti
Diciamo che il limite di f(x) è ∞ per x che tende ad infinito in simboli
lim f(x)=l
x->x0
se comunque si prenda un intorno di l indicato con I(l) esiste un intorno completo di x0 I( x0) in modo tale che l'immagine di ogni x appartenente ad I( x0) escluso un x0 sta nell'intorno di l scelto.