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| Calcolo dei limiti | ||
Videolezione: Esercizio sulla definizione di derivata
Videolezione Videolezione Teorema della corda Videolezioni circonferenza, circonferenza per tre punti Videolezione limiti Videolezione relazione tra la tangente goniometrica e le altre funzioni goniometriche
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Calcolo del limiti di funzioni continue
Il limite
lim f(x))
x->x0
di una funzione continua si ottiene semplicemente sostituendo x0 alla variabile indipendente x.
Sommario
Forme indeterminate
(in allestimento)
Sommario
Limiti notevoli
I limiti notevoli sono particolari limiti chiamati così perché fondamentali in analisi.
A partire da essi se ne possono calcolare altri.
Il primo limite notevole è
lim sen(x) = 1
x->0 x
La forma indeterminata si risolve utilizzando il teorema del confronto. (dimostrazione in allestimento)
I limiti conseguenza immediata del limite notevole suesposto sono i seguenti:
| Note |
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| lim | tg x | = | 1 | tg x=sen x/cos x |
| x->0 | x | |||
| lim | x | = | 1 | |
| x->0 | senx | |||
| lim | arcsen x | = | 1 | si pone
sen x=y da cui x = arc sen y |
| x->0 | x | |||
| lim | 1-cosx | = | 1/2 | 1-cosx=2 sen2x/2 |
| x->0 | x2 | |||
Il secondo limite notevole è il seguente:
Il numero e rappresenta un numero irrazionale che vale circa 2,718...
Da questo scaturiscono i seguenti limiti
| per la dimostrazione clicca sul limite |
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Sommario
Infinitesimi e confronto di infinitesimi
Definizione.Diciamo che la funzione f(x) è un infinitesimo per x che tende a x0 se
lim f(x) = 0
x->x0
Dati due infinitesimi in x0 ,il limite del loro rapporto per x che tende ad x0 è una forma indeterminata 0/0.
Si possono presentare quatto diversi casi
| limite | si dice che |
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| 0 | f(x) è un infinitesimo d'ordine superiore rispetto a g(x) | |
| lim f(x) | ∞ | f(x) è un infinitesimo d'ordine inferiore rispetto a g(x) |
| ── = | l¹0 | f(x) è un infinitesimo d'ordine inferiore rispetto a g(x) |
| x->x0 g(x) | non esiste | f(x) e g(x) sono infinitesimi non confrontabili |
Per definire l'ordine di infinitesimo di una funzione si utilizza un infinitesimo di riferimento.
Questo infinitesimo è per x-> x0 la funzione x-x0 mentre per x->∞ è 1/x.
Definizione
Si dice ordine di infinitesimo di una funzione f(x) il numero n per il quale si ha
lim f(x) = l¹0
x->x0 (x-x0)n
Quindi per x->0 1-cos x è infinitesimo del secondo ordine,
infatti
lim 1-cos x = lim 2 sen2(x/2)l=lim = 1
x->0 x2 2
| lim | 1-cos x | = | lim | 2 sen2(x/2) | = | lim | 2 sen2(x/2) | = | 1 |
| x->0 | x2 |
x->0 | x2 | x->0 | 4 (x/2)2 | 2 |
Se una funzione è un infinitesimo d'ordine n per x->x0 e vale la suddetta relazione allora si può scrivere
f(x)=l·xn+e(x) dove e(x) è un infinitesimo per x->x0 di ordine superiore a n.
Definizione. Il prodotto l·xn si dice parte principale dell'infinitesimo f(x).
Nel calcolo del limite di una funzione in cui compaiono infinitesimi è possibile trascurare gli infinitesimi d'ordine superiore, sostituendo quello di ordine inferiore con la sua parte principale.
Sommario
Infiniti e confronto di infiniti
Diciamo che la funzione f(x) è un infinito per x che tende a x0 se
lim f(x) = ∞
x->x0
Dati due infinitesimi in x0 ,il limite del loro rapporto per x che tende ad x0 è una forma indeterminata ∞/∞.
Si possono presentare quatto diversi casi
| limite | si dice che |
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| 0 | f(x) è un infinito d'ordine superiore rispetto a g(x) | |
| lim f(x) | ∞ | f(x) è un infinito d'ordine inferiore rispetto a g(x) |
| ── = | l¹0 | f(x) è un infinito d'ordine inferiore rispetto a g(x) |
| x->x0 g(x) | non esiste | f(x) e g(x) sono infiniti non confrontabili |
Per definire l'ordine di infinito di una funzione si utilizza un infinito di riferimento.
Questo infinito è per x-> x0 la funzione 1/(x-x0) mentre per x->∞ è x.
Definizione
Si dice ordine di infinito in x0 di una funzione f(x) il numero n per il quale si ha
lim f(x) = l¹0
x->x0 g(x)n
dove g(x) è l'infinito di riferimento per x->x0
Se una funzione è un infinito d'ordine n per x->x0 e vale la suddetta relazione allora si può scrivere
f(x)=l/(x-x0)n+e(x) dove e(x) è un infinitesimo per x->x0.
Definizione. Il rapporto l/(x-x0)n si dice parte principale dell'infinito f(x).
Sommario