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Insiemi numerici (in allestimento)
| Definizione |
| Insiemi limitati |
| Massimo, minimo |
| Maggioranti e minoranti |
| Estremi superiori ed inferiori |
| Intervalli |
| Intorni |
| punti isolati,interni e di accumulazione |
| Insiemi aperti |
| Insiemi chiusi |
Gli insiemi numerici sono insiemi i cui elementi sono numeri, cioè appartengono all'insieme N dei naturali, degli interi Z, dei razionali Q, dei reali R o dei complessi C.
Esempio:
A={ x| x=1/n, nєN+ } con N+ si indicano i naturali positivi,cioè A è l'insieme è {1,1/2,1/3,1/4,... }
Un insieme numerico A si dice limitato superiormente (inferiormente) se esiste un numero K tale per ogni xєA si ha x≤K (x≥K).
Un insieme che è limitato sia superiormente che inferiormente si dice limitato
Massimi e minimi
Un elemento mєA di un insieme numerico si dice massimo (minimo) se per ogni xєA si ha x≤m (x≤m)
E' evidente che ogni insieme numerico non può avere più di un massimo o più di un minimo.
Un elemento m si dice maggiorante (minorante) di un insieme numerico se per ogni xєA si ha x≤m (x≥m)
Si osservi che un insieme non limitato superiormente (inferiormente) non può avere maggioranti (minoranti), e che se un insieme è limitato superiormente (inferiormente) ha infiniti maggioranti (minoranti).
Esempio: A={ x| x=1/n, nєN+ } ha 2 come maggiorante, -1 come minorante
Estremi superiori ed inferiori
Sia A un insieme numerico limitato superiormente (inferiormente), allora il minimo dei maggioranti si chiama estremo superiore (inferiore). Se questo elemento appartiene all'insieme A esso coincide con il massimo (minimo)
Gli intervalli sono insiemi numerici i cui elementi sono numeri reali compresi fra due valori.
La tabella seguente illustra i diversi tipi di intervalli.
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Intervalli limitati |
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| Notazione 1 | Notazione 2 | ||
| Intervallo chiuso | [a,b] | { xєR| a≤x≤b } | tutti gli numeri reali compresi tra a e b estremi inclusi |
| Intervallo aperto | (a,b) | { xєR| a<x<b } | tutti gli numeri reali compresi tra a e b, estremi esclusi |
| Intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra | (a,b] | { xєR| a<x≤b } | tutti gli numeri reali compresi tra a e b, incluso b ed escluso a |
| Intervallo aperto a destra e chiuso a sinistra | [a,b) | { xєR| a≤x<b } | tutti gli numeri reali compresi tra a e b, incluso a ed escluso b |
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Intervalli illimitati |
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| Notazione1 | Notazione 2 | ||
| Intervallo chiuso illimitato superiormente |
[a,+∞) |
{ xєR| x≥a } | tutti gli numeri reali maggiori di a, incluso a stesso |
| Intervallo aperto illimitato superiormente |
(a,+∞) |
{ xєR| x>a } | tutti gli numeri reali maggiori di a, escluso a stesso |
| Intervallo chiuso illimitato inferiormente |
(-∞,a] |
{ xєR| x≤a } | tutti gli numeri reali minori di a, incluso a stesso |
| Intervallo aperto illimitato inferiormente |
(-∞,a) |
{ xєR| x<a } | tutti gli numeri reali minori di a, escluso a stesso |
Un numero reale può essere rappresentato come punto di una retta, di conseguenza spesso si parlando di un punto su una retta si intende indifferentemente sia un numero reale sia lo stesso punto che lo rappresenta.
Un intervallo limitato quindi è rappresentato da un segmento, mentre un intervallo illimitato è rappresentato da una semiretta.
Si definisce intorno completo I(x0) di un numero x0 un qualunque intervallo aperto contenente x0. Se x0 è il punto medio tra gli estremi dell'intervallo tale intorno si dice circolare.
La parte di un intorno completo di x0 che sta a destra di x0 si dice intorno destro I(x0+) di x0
La parte di un intorno completo di x0 che sta a sinistra di x0 si dice intorno sinistro I(x0-) di x0.
Si definisce intorno di infinito I(∞) l'insieme unione di intervallo aperto illimitato inferiormente ed uno aperto illimitato superiormente, cioè (b,+∞)U(-∞,a), in termini intuitivi l'insieme di numeri più piccoli di un numero a o più grandi di un numero b, se i numeri a e b sono opposti si parla di intorno circolare di infinito.
L'equivalente di intorno destro e sinistro si chiamano intorno di più infinito e meno infinito.
L'intorno di più infinito I(+∞) è l'intervallo illimitato superiormente (b,+∞).
L'intorno di meno infinito I(-∞) è l'intervallo illimitato superiormente (-∞,a).
Un numero reale x0 appartenente ad un insieme numerico A si dice isolato se esiste un intorno completo di x0 che non contiene altri elementi di A.
Esempio: A={1,1/2,1/3,1/4, ...,0 }
1 è un punto isolato di A mentre non lo è 0
Un numero reale x0 appartenente ad un insieme numerico A si dice interno se esiste un intorno completo di x0 che contenente solo elementi di A.
L'insieme dei punti interni si dice interno di A.
Un numero reale x0 appartenente ad un insieme numerico A si dice di accumulazione se ogni intorno completo di x0 contiene altri elementi di A oltre x0.
L'insieme dei punti di accumulazione di un insieme A si dice chiusura di A
Un punto di accumulazione di un insieme A potrebbe non appartenere all'insieme A.
Esempio:
A={ x| x=1/n, nєN+ } con N+ si indicano i naturali positivi,cioè A è l'insieme è {1,1/2,1/3,1/4,... }
0 è un punto di accumulazione anche se non appartiene ad A.
Si può facilmente mostrare che ogni intorno di un punto di accumulazione di un insieme A contiene infiniti elementi di A stesso.
Un insieme si dice aperto se coincide con il suo interno.
Si può dimostrare che un insieme aperto è l'unione di un numero finito o con la potenza del numerabile di intervalli aperti.
Un insieme si dice chiuso se coincide con la sua chiusura.
Si può dimostrare che un insieme chiuso è l'unione di un numero finito o con la potenza del numerabile di intervalli chiusi.