Insiemi

Il matematico, G. Cantor, nato in Russia nel 1848, ma tedesco di adozione, ha costruito quella che prenderà il nome di teoria ingenua degli insiemi.

Dopo la costruzione di questa teoria è stato possibile costruire campi della matematica completamente nuovi, altri invece, già esistenti sono stati influenzati e trasformati da essa.

Divenne possibile affrontare il compito di costruire l'intera matematica partendo da pochi principi fondamentali.

Il punto di partenza di questa teoria è la definizione che Cantor diede di insieme:

un insieme è una collezione, raccolta, classe, aggregato di oggetti ben distinti della nostra immaginazione che formano un tutt'uno.

Da un punto di vista matematica questa non può essere accettata come definizione, in quanto, collezione, raccolta, classe, aggregato, non sono altro che sinonimi di ciò che si vuole definire.

Gli oggetti di un insieme si chiamano elementi.
Esempio: gli elementi di una classe di alunni sono gli alunni.

Un insieme può essere individuato in tre modi diversi:

1. mediante una definizione estensiva, che consiste nell'elencare gli elementi dell'insieme, utilizzando una notazione in cui gli elementi dell'insieme sono racchiusi tra parentesi graffe, separati tra loro da virgole

Esempio: A ≡{ 1,3,4,7 }

Ė chiaro che insiemi costituiti da infiniti elementi non possono essere individuati da una definizione estensiva, che si può dare

2. mediante una definizione intensiva, ossia mediante una proprietà soddisfatta da tutti e soli gli elementi dell'insieme. In questo caso si usa la seguente annotazione A≡{ x | ...x...}, da leggere l'insieme di tutti gli x per i quali vale la proposizione  ...x...

Esempio: A ≡{xєN| yєN, y²=x } che rappresenta l'insieme  dei quadrati perfetti,

per la simbologia clicca qui

dove il simbolo rappresenta il quantificatore esistenziale e si legge esiste.

3. mediante i diagrammi di Eulero-Venn, in cui l'insieme è visualizzato mediante una linea chiusa che delimita una regione di piano,all'interno della quale gli elementi sono indicati mediante punti.

Esempio: 

Sommario

Secondo la teoria di Cantor è possibile costruire l'insieme che non contiene se stesso come elemento

X ≡ {x| xx}, cioè xєX <══> xx.

Ci si pone chiede se XєX, dalla definizione, ponendo X al posto di x, si ha XєX <══> XX, cioè X appartiene a se stesso solo se X non appartiene a se stesso.

Ciò in palese violazione del principio di non contraddizione, secondo il quale una proposizione non può essere contemporaneamente vera e falsa.        

Questa è la famosa antinomia di Russel. In maniera più intuitiva l'antinomia viene rappresentata dalla storiella del barbiere del villaggio, che rade tutti gli uomini e solo quelli che non si radono da soli. Il barbiere pertanto fa la barba a se stesso se e solo se non fa la barba a se stesso.

L'antinomia di Russel, insieme a diverse altre mostra che il concetto di insieme dato da Cantor conduce a contraddizioni. Questo è il motivo per cui tale teoria dell'insieme viene detta ingenua.

Sommario

Definizioni:

Uguaglianza. Due insiemi sono uguali se possiedono gli stessi elementi.

Insieme vuoto. Un insieme si dice vuoto se non possiede nessun elemento.

Per indicare l'insieme vuoto si utilizza il simbolo Ø.

Esempio: A ≡{xєN| x²=-1 } è l'insieme vuoto Ø

Quando si assegna un insieme mediante una proprietà caratteristica, occorre indicare l'ambiente in cui si trovano gli elementi. esempio

Esempio: A ≡{x| x²>25 }, l'insieme è diverso se consideriamo l'insieme dei numeri naturali o l'insieme dei numeri reali.

Questo  ambiente, cioè la totalità degli elementi è un insieme detto insieme universo o ambiente

Dati due insiemi A e B, si dice che B è un sottoinsieme di A se ogni elemento di B appartiene anche ad A,

si indica col simbolo BA.

Diagramma di Eulero-Venn per i sottoinsiemi

Esempio: A ≡{xєN| x=2n,nєN } insieme dei numeri pari e B ≡{xєN| x=4n,nєN } insieme dei multipli di 4.

  Allora B è un sottoinsieme di A in simboli BA

Dato un insieme A. si definisce insieme delle parti di A, e si indica con P(A), l'insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di A

Algebra degli insiemi

Dati due o più insiemi si possono eseguire operazioni tra essi il risultato è un terzo insieme che soddisfa certe condizioni.

Le principali sono:

•  l'unione

• l'intersezione

• il complementare

• la differenza

Unione

Dati due insiemi A e B si definisce unione di A e B AUB l'insieme formato dagli elementi che appartengono ad A o a B