La derivata di una funzione

• Prerequisiti

• Obiettivi

• Rapporto incrementale

• Definizione di derivata in punto

• Continuità e derivabilità

• Significato geometrico di derivata

• Le derivate fondamentali

• Proprietà delle derivate

• La derivata di una funzione composta

• La derivata della funzione inversa

Torna al programma

Prerequisiti

• Conoscenza delle funzioni;

• calcolo dei limiti;

• equazione della retta passante per un punto.

Sommario

Obiettivi

• Saper definire il concetto di derivata;

• interpretare geometricamente la derivata

• saper calcolare le derivate;

• conoscere la relazione tra derivabilità e continuità;

• risolvere problemi con le derivate;

• utilizzare i principalo teoremi del calcolo   differenziale;

• riconoscere e determinare i massimi ,minimi e flessi di una funzione;

• studiare le funzioni e saperne tracciare il grafico.

Sommario

Il rapporto incrementale

Il rapporto incrementale di una funzione f(x) relativo ad a è uguale al rapporto

f(x)-f(a)

 ―――――――

x-a

posto h=x-a cioè x=a+h la relazione diventa

f(a+h)-f(a)

 ―――――――

h

Indicati con A(a,f(a)) e B(a+h,f(a+h)) i punti della curva y=f(x), il rapporto incrementale  è il rapporto tra la differenza delle ordinate con la differenza delle ascisse. Pertanto rappresenta il coefficiente angolare della retta passante per A e B.

Sommario

Definizione di derivata in punto

La derivata di una funzione f(x) nel punto di ascissa a è data da:

               f(a+h)-f(a)

f'(a)=  lim  ―――――――――

           h->0      h 

o in maniera equivalente

             f(x)-f(a)

f'(a)=  lim  ―――――

     x->a   x-a

Sommario

Continuità e derivabilità

Il denominatore del rapporto incrementale tende a zero, pertanto affinchè il limite esista occorre che anche il numeratore sia un infinitesimo quando h->0, cioè

lim f(x)-f(a)=0 --> lim f(x)=f(a)

                x->a                      h->0                           

Questo fatto si riassume dicendo che la derivabilità implica la continuità. Viene spontaneo domandarsi se la continuità implica la derivabilità, con esempi si può dare una risposta negativa.

Sommario

Significato geometrico di derivata in un punto

Dalla fig.1 si noti che se h->0 allora il B->A cioè i punti di iintersezione coincidono, pertanto la retta AB è la tangente alla curva nel punto di ascissa A. Poichè il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta AB si conclude che f'a) è il coefficiente angolare della tangente alla curva y=f(x) nel punto di ascissa a

Ricordando la formula y-y0=m(x-x0) che permette di calcolare l'equazione della retta passante per il punto (x0;y0) di coefficiente angolare m, si ricava l'equazione della tangente alla curva y=f(x) nel punto (a,f(a) essa è:

y-f(a)=f'(a)(x-x0)   (equaz. tg alla curva in (a;f(a))

Sommario

Derivate fondamentali

• Derivata di una costante y=k

            f'(x)=0        (dimostrazione)

• Derivata della funzione y=x 

       f'(x)=1     (dimostrazione)

   

• Derivata della funzione y=xⁿ 

       f'(x)=nx^n-1       (dimostrazione)

   

• Derivata della funzione y=sin(x)⁾ 

       f'(x)=cos(x)       (dimostrazione)

• Derivata della funzione y=cos(x)⁾ 

       f'(x)=-sen(x)       (dimostrazione)

• Derivata della funzione y=ln(x)

            1

  f'(x)=  ―――    (dimostrazione)

             x

   

• Derivata della funzione y=a^x

           

  f'(x)=   y=a^xln a   (dimostrazione)

Proprietà delle derivate

• Derivata della somma di due funzioni

    la derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate.       

(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)  (dimostrazione)

• Derivata della prodotto di due funzioni

    la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla prodotto della derivata del primo fattore per la seconda senza derivare più il prodotto del pimo fattore senza derivare per la derivata del secondo fattore.       

(f(x)·g(x))'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)  (dimostrazione)

• Derivata del reciproco di una funzione

    la derivata della reciproco di una funzione è uguale all'opposto del reciproco del quadrato della funzione.       

   1            1 

 (―― )' = - ――――  (dimostrazione)                                  

  f(x)         [f(x)]²  

• Derivata del rapporto di due funzioni

    la derivata della rapporto

   1            1 

 (―― )' = - ――――  (dimostrazione)                                  

  f(x)         [f(x)]²  

Sommario