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Disuguaglianze
Dati due numeri A e B vale una delle tre relazioni
  1. A > B cioè il numero A è maggiore del numero B
  2. A < B cioè il numero A è minore del numero B
  3. A = B cioè i numeri A e B sono uguali

 

I simboli > e < chiamano versi delle disuguaglianze.
Esempio:  -5>-7 ;  -5<9; 6>3 sono esempi di disuguaglianze
non è vera la relazione 5<5 o -3>-3

 

Si possono generalizzare le disuguaglianze utilizzando come verso i simboli ≤ e ≥
in questo caso la relazione è vera anche se i due membri sono uguali.
Esempio: 5≤5;  6≤9;  3≥4;  7≥7

 

Se sia aggiunge o si toglie al primo e secondo membro una stessa quantità si  ottiene ancora una disuguaglianza.
Esempio:  4>3  allora 4+3>3+3 infatti 7>6; anche 4-5>3-5 infatti -1>-2

 

Se in una disuguaglianza si moltiplica primo e secondo membro per un numero positivo si ottiene ancora una disuguaglianza.
Esempio: -5<3 allora -5∙4<3∙4 infatti -20<12.

 

La relazione vale ancora se si moltiplica per un numero negativo?
Esempio 6>3 allora 6∙(-2)>3∙(-2)? no perché -12<-6.        
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Disequazioni (generalità)
Una disuguaglianza in cui compare una lettera sarà verificata per particolari valori della lettera. In questo caso la disuguaglianza prende il nome di disequazione.
La lettera che compare nella disequazione prende il nome di incognita, mentre i valori che sostituiti al posto dell'incognita che verificano la disuguaglianza si dice soluzione.
Risolvere una disequazione significa trovare tutte le sue soluzioni.
Queste soluzioni, a differenza di quanto succedeva con le equazione, possono essere infinite, e rappresentare tutti i numeri compresi fra due valori.
Questi insiemi si chiamano intervalli, i due valori si dicono estremi dell'intervallo.
Esempio:
  1. a<x<b rappresenta l'intervallo di numeri compresi fra a e b, con a e b esclusi;
  2. a≤x≤b rappresenta l'intervallo di numeri compresi fra a e b, con a e b compresi:
  3. x>a tutti i numeri maggiori di a, in questo caso a è escluso;
  4. x≥a tutti i numeri maggiori di a, in questo caso a è escluso;

 

Gli intervalli in 1) sono detti aperti,  in 2)  chiusi.
Gli insiemi dei casi 3) e 4) sono intervalli di estremi a e +∞ ( leggi infinito)
       
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Disequazioni di primo grado
Una disequazione di primo grado si risolve, come per le equazioni di primo, trasportando i termini con l'incognita al primo membro, e i termini senza incognita (termini noti) al secondo, isolando infine l'incognita, ricordandosi che se si divide per un numero negativo occorre cambiare anche il verso della disequazione.
Esempio:
2x-3 < 4x-7
2x-4x < 3-7
-2x < -4
2x > 4 si deve cambiare il verso in quanto si è cambiato il segno in entrambi i membri
x> 2.
Le soluzioni si possono indicare anche con la seguente notazione x є (2,+∞)
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Disequazioni di secondo grado
Per risolvere una disequazione di secondo grado occorre prima di tutto scriverla a forma normale ossia nella forma  
ax2+bx+c < 0
dove il verso può essere anche un altro.
A questo punto si può seguire uno dei seguenti metodi.
  1. Metodo grafico:
Si considera la parabola y=ax2+bx+c , essendo il verso della disequazione minore, la ricerca delle soluzioni è equivalente a trovare sull'asse ascisse, quelle x per i quali le corrispondenti ordinate y=ax2+bx+c dei punti della parabola sono negative. Analoghe considerazioni si fanno se il verso è maggiore.
Occorre quindi rappresentare, non necessariamente in maniera precisa la parabola y=ax2+bx+c
Le caratteristiche fondamentali che bisogna individuare sono due:
  1. la concavità della parabola;
  2. l'esistenza di eventuali intersezioni con gli assi.
La concavità si ricava dal segno del coefficiente del termine di secondo grado, cioè il segno di a. Essa è verso l'alto  se a>0, verso il basso in caso contrario.
Le ascisse dei punti di intersezione tra la parabola y=ax2+bx+c sono le soluzioni dell'equazione ax2+bx+c=0, quindi la parabola interseca l'asse x se il discriminante Δ =b2-4ac è maggiore di zero.

 

 
Esempio:
2x-3 < 4x-7
2x-4x < 3-7
-2x < -4
2x > 4 si deve cambiare il verso in quanto si è cambiato il segno in entrambi i membri
x> 2.
Le soluzioni si possono indicare anche con la seguente notazione x є (0,+∞)       
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