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Dimostrazioni sulle derivate
f(x)=k (k costante) f'(x)=0
Dimostrazione
f(a+h)=k ; f(a) =k
pertanto il rapporto incrementale θ sempre
f(a+h)-f(a) |
k-k |
――――――― |
= ――――=0 |
| h |
h |
Si conclude che la derivata di una funzione costante θ
f'(x)=0
In maniera intuitiva si poteva dare la stessa risposta ricordando che la derivata in punto θ il coefficiente angolare dellla tangente alla curva nel punto.
In questo caso la curva θ la retta y=k parallela all'asse x, che ha se stessa come tangente in qualunque punto, ma tale retta ha coefficiente angolare nullo.
f(x)=x f'(x)=1
dimostrazione
si ha f(a+h)=a+h ; f(a) =a
pertanto il rapporto incrementale θ sempre
f(a+h)-f(a) |
a+h-a |
h |
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| ――――――― |
=――――――= |
――― |
=1 |
| h |
h |
h |
Quindi f'x)=1.
Anche in questo caso si possono fare le stesse considerazioni intuitive osservando che che la retta y=x ha per tangente se stessa in ogni punto, cioθ il coefficiente angolare della tangente θ uguale ad 1 in tutti i suoi punti
Dimostrazione
preliminarmente si ricordi che bn -cn=(b-c)(bn-1 +bn-2c+bn-3c2+...+b2cn-3+ban-2+cn-1)
si ha f(a+h)=(a+h)n ; f(a) =an
quindi
f(a+h)-f(a)= (a+h)n -an=(a+h-a)[(a+h)n-1 +(a+h)n-2a+(a+h)n-3a2+...+(a+h)2an-3+(a+h)an-2+an-1]=
=h[(a+h)n-1 +(a+h)n-2a+(a+h)n-3a2+...+(a+h)2an-3+(a+h)an-2+an-1]
il rapporto incrementale vale
| f(a+h)-f(a) |
h[(a+h)n-1
+(a+h)n-2a+(a+h)n-3a2+...+(a+h)2an-3+(a+h)an-2+an-1] |
――――――= |
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――= |
h |
h |
=(a+h)n-1 +(a+h)n-2a+(a+h)n-3a2+...+(a+h)2an-3+(a+h)an-2+an-1 |
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per h->0 ciascuno degli n addendi tende ad an-1 pertanto f'(a)=nan-1
esiste una dimostrazione alternativa
Se l'esponente θ un numero intero negativo si utilizza la derivata del reciproco di una funzione
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1 -nxn-1 f(x)= x-n=――― =――――=-nx-n-1 xn x2n |
quindi la formula vale anche per esponenti negativi.
Resta da dimostrare il caso in cui l'esponente sia un numero reale qualunque
Dimostrazione:
per la formula di prostaferesi
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a+h+a a+h-a 2cos(――――――――)sen(――――――――) 2 2 |
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f(a+h)-f(a) sen(a+h)-sen(a) |
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―――――――― =―――――――――――――――= h h |
―――――――――――――――――――――――――――――――――= h |
| h h |
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2cos(a+―――――)sen(――――――――) 2 2 =―――――――――――――――――――――――――――= |
| h |
il secondo fattore fratto h tende a 1/2 per h->0 il primo fattore tende a 2cos a
quindi f'(x)=cos x
Dimostrazione:
per la formula di prostaferesi
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a+h+a a+h-a -2sen(――――――――)sen(――――――――) 2 2 |
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f(a+h)-f(a) cos(a+h)-cos(a) |
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―――――――― =―――――――――――――――= h h |
―――――――――――――――――――――――――――――――――= h |
| h h |
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-2sen(a+―――――)sen(――――――) 2 2 =――――――――――――――――――――――――― |
| h |
il secondo fattore fratto h tende a 1/2 per h->0 il primo fattore tende a -2sen(a)
quindi f'(x)=-sen(x)
1
f'(x)= ―――logae
x
Infatti si ha
da cui l'asserto.
In particolare quando la base del logaritmo è proprio e si ha
1
f'(x)= ―――
x
di conseguenza il limite del rapporto incrementale vale 1/x
f(x)=ax f'(x)=ax ln a
Dimostrazione:
il rapporto incrementale è
f(x+h)-f(x) |
ax+h-ax |
ax(ah-1) |
= |
= |
|
| h |
h |
h |
(ah-1) |
||
per h->0 |
|
->ln a |
h |
di conseguenza il limite del rapporto incrementale vale axln a
In particolare se a=e essendo ln e=1 la derivata di ex θ ex
per h->0
Proprietΰ delle derivate
Derivata della somma di due funzioni
la derivata della somma di due funzioni θ uguale alla somma delle derivate.
Dimostrazione:
posto s(x)=f(x)+g(x) allora
s(x+h)-s(x) |
[f(x+h)+g(x+h)]-[f(x)+g(x)] |
[f(x+h)-f(x)]+[g(x+h)-g(x)] |
= |
―――――――――――――――――= |
――――――――――――――――= |
| h |
h |
h |
f(x+h)-f(x) |
g(x+h)-g(x) |
= + |
――――――――――― |
h |
h |
ma questa θ la somma dei rapporti incrementali della f e della g
quindi s'(x)=f'(x)+g'(x)
Derivata del prodotto di due funzioni
la derivata del prodotto di due funzioni θ uguale alla prodotto della derivata del primo fattore per la seconda senza derivare piω il prodotto del primo fattore senza derivare per la derivata del secondo fattore.
(f(x)·g(x))'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)
Dimostrazione:
posto p(x)=f(x)*g(x) allora
p(x+h)-p(x) |
f(x+h)*g(x+h)-f(x)*g(x) |
f(x+h)*g(x+h)-f(x+h)*g(x)+f(x+h)*g(x)-f(x)*g(x) |
= |
―――――――――――――――――= |
――――――――――――――――――――――――――――= |
| h |
h |
h |
| f(x+h)[g(x+h)-g(x)]+g(x)[f(x+h)-f(x)] |
| = ――――――――――――――――――――――――= |
h |
f(x+h)-f(x) |
f(x+h)-f(x) |
|
| =f(x+h) | + |
g(x)――――――――――― |
| h | h |
facendo tendere h a zero otteniamo l'asserto.
Derivata del rapporto di due funzioni
la derivata del rapporto di due funzioni θ uguale alla prodotto della derivata del numeratore per i ldenominatore senza derivare meno il prodotto del numeratore senza derivare per la derivata del denominatore il tutto fratto il quadrato del numeratore.
f'(x)g(x)-f(x)g'(x) |
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| ( f(x)/g(x))'= | |
| g²(x) |
Dimostrazione:
posto q(x)=f(x)/g(x) allora
p(x+h)-p(x) |
f(x+h)*g(x+h)-f(x)*g(x) |
f(x+h)*g(x+h)-f(x+h)*g(x)+f(x+h)*g(x)-f(x)*g(x) |
= |
―――――――――――――――――= |
――――――――――――――――――――――――――――= |
| h |
h |
h |
| f(x+h)[g(x+h)-g(x)]+g(x)[f(x+h)-f(x)] |
| = ――――――――――――――――――――――――= |
h |
f(x+h)-f(x) |
f(x+h)-f(x) |
|
| =f(x+h) | + |
g(x)――――――――――― |
| h | h |
facendo tendere h a zero otteniamo l'asserto.