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| Definizione | |
| Continuitā delle funzioni elementari | |
| Calcolo dei limiti di funzioni continue | |
| Discontinuitā | |
| Teoremi sulle funzioni continue | |
Definizione di continuitā in punto
Definizione La funzione f(x) si dice continua nel punto x0 interno al suo dominio se vale la seguente uguaglianza
lim f(x)=f(x0)
x->x0
In altre parole esiste ed č finito il limite per x-> x0 e tale limite č uguale al valore che la funzione assume in x0.
Questa definizione ci permette quindi di calcolare il limite di una funzione che sappiamo essere continua, basta infatti calcolare il valore che essa assume in x0.
Sommario
Continuitā di funzioni elementari
La funzione y=x è continua.
Dimostrazione: si deve far vedere che
lim x=x0
x->x0
Cioè comunque si prende e>0 esiste un intorno di x0 per cui |x-x0 |<e .
Infatti se |x-x0 |<e, cioè x0 -e<x<x0+e allora l'intorno di x0 cercato ha ampiezza e
La funzione y=xn è continua, con n numero naturale.
Dimostrazione: basta osservare y=xn è il prodotto di x per se stesso n volte, applicando il limite del prodotto e la continuità della funzione y=x l'enunciato
| lim xn | =x0x0...x0 =x0n (n volte) |
| x->x0 |
Pertanto posto y=f(x)=xn allora
| lim f(x) | =lim xn | =x0n=f(x0) |
| x->x0 | x->x0 |
la funzione è quindi continua
Sommario
Calcolo di limiti di funzioni continue
Dalla definizione di continuità in punto ne consegue che il limite di una funzione continua si calcola semplicemente sostituendo x0 al posto della x
Sommario
Teoremi sulle funzioni continue
Teorema di Bolzano
Se una funzione è definita e continua in un intervallo I, qualunque siano i punti a e b dell'intervallo, allora la funzione nell'intervallo (a,b) assume tutti i valori compresi fra f(a) e f(b).
Dimostrazione in fase di costruzione
In termini intuitivi il teporema di Bolzano afferma che una funzione non procede a salti.
Inoltre vale anche il seguente teorema
Teorema. Una funzione continua in un insieme chiuso è limitata.
Dimostrazione in fase di costruzione
Infatti se una funzione è continua in punto, il suo limite per x tendente a quel punto deve coincidere con il valore della funzione in essoe questo limite se la funzione è definita deve essere un valore finito.
Si noti che la funzione continua sia limitata se l'intervallo è aperto.
Come conseguenza dri due teorema sopra enunciati vale il seguente
Teorema di Weierstrass
Una funzione continua su un intervallo chiuso assume sempre un massimo ed un minimo.
Dimostrazione in fase di costruzione
Anche in questo caso è importante notare che per la validità del teorema è necessario che l'intervallo in cui la funzione è continua sia chiuso.
Sommario
Discontinuità
In fase di costruzione