Posizioni reciproche fra retta e circonferenza

Una retta rispetto ad una circonferenza può essere:

• esterna, la retta non interseca la circonferenza;

• secante, la retta interseca la circonferenza in due punti distinti;

• tangente, la retta tocca la circonferenza in un solo punto.

Per determinare i punti di intersezione tra una retta ed una circonferenza occorre risolvere il sistema formato dall'equazione della circonferenza e della retta.

Si ottiene un sistema di secondo grado e a seconda delle soluzioni si presentano tre casi

1. soluzioni immaginarie, la retta è esterna.

2. soluzioni reali e distinte, la retta è secante la circonferenza;

3. soluzioni reali e coincidenti, la retta è tangente la circonferenza;

Supponiamo di dover trovare la tangente alla circonferenza in un punto P(x0,y0).

La tangente è determinata una volta ricavato il suo coefficiente angolare, infatti l'equazione ha la forma y-y0=m(x-x0) ( retta di dato coefficiente angolare passante per un punto di dato). In altre parole la tangente è una particolare retta fra le infinite appartenenti al fascio di rette y-y0=m(x-x0) di centro (x0,y0).

Esistono due procedimenti per ricavare m:

1. Si risolve il sistema formato dalle equazioni della circonferenza e l'equazione del fascio di centro P(x0,y0) che dipende dal parametro m.

   Se la retta è tangente il sistema deve avere redici reali e coincidenti, quindi il discriminante dell'equazione di secondo grado deve valere zero. Si uguaglia il discriminante ottenendo un'equazione in cui m è l'incognita.

   La soluzione dell'equazione rappresenta il coefficiente angolare dlla tangente;

2. Si utilizza una proprietà della circonferenza: la tangente ha distanza dal centro uguale al raggio, pertanto m si ricava come soluzione dell'equazione in cui si uguaglia la distanza della generica equazione del fascio col raggio della circonferenza

Determinazione equazione della circonferenza

L'equazione di una circonferenza x²+y²+ax+by+c=0 dipende dai tre parametri a,b,c di, conseguenza per ricavare l'equazione dobbiamo avere tre relazioni indipendenti fra loro i parametri.

Si possono verificare diversi casi:

•  centro C(a,b) e raggio r

  • l'equazione è (x-a)²+(y-b)²=r²

• tre punti A(x₀,y₀), B(x₁,y₁),  C(x₂,y₂) appartenenti alla circonferenza

  • si applica la condizione di appartenenza a ciascuno dei tre punti, cioè si sostituiscono le coordinate all'equazione generica della circonferenza ottenendo così tre equazioni in tre incognite, le soluzioni del sistema ci danno i valori di a, b, c.

• centro C(a,b) e un punto A(x₀,y₀)

  • a e b si ricavano dalle relazioni a=-2a e b=-2b mentre c si ricava imponendo la condizione del punto A e risolvendo l'equazione.

• due punti appartenenti alla circonferenza e la tangente in uno di essi

  • si ottengono due equazioni nelle incognite a e b imponendo la condizione di appartenenza per i due punti a ciascuno dei tre punti