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I limiti notevoli sono particolari limiti che si presentano frequentemente e che permettono di risolvere forme indeterminate di altri limiti.

I più usati sono:

 1)     limite per x che tende a zero di sen x su x=1
 2)  limite x che tende a infinito
 3)  CodeCogsEqn (23)     
 4)  limite per x che tende a zero di logaritmo in base a si 1+x  fratto x
5) limite notevole

      

 

   

Limite 1

limite per x che tende a zero di sen x su x=1 

senx su x

Dalla figura osserviamo che  disuguaglianza poiche il segmento PH è minore dell'arco x . Dividendo i termini per sen x si ottiene

CodeCogsEqn (29)   

semplificando

CodeCogsEqn (31) 

invertendo i termini della disuguaglianza 

CodeCogsEqn (33)

Sia il primo che il terzo termine tendono a 1 , pertanto si ha 

limite per x che tende a zero di sen x su x=1

Limite 2

limite x che tende a infinito   

Si definiscono le due successioni

1  2

La successione an è crescente, per mostrarlo si scrive nella forma

nepero

quindi 

4

5

per la disuguaglianza di Bernoulli  (1+x)n>1+nx   al numeratore

6

Analogamente si mostra che bn è decrescente.

an<bn infatti 

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poichè b1=4 e bn è decrescente an è sicuramente minore di 4, quindi essendo limitata superiormente e crescente avrà sicuramente un limite a cui si attribuisce il simbolo e ed è chiamato numero di Nepero, ha il valore pari a 2,7188.

Si osservi che anche la successione bn tende ad e infatti

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Dimostriamo ora che 

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supponiamo che n=[x] siala parte intera di x

vale la seguente disuguaglianza


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La prima parte della disuguaglianza deriva dal fatto che [x]+1>x e si trova al denominatore, mentre la seconda scaturisce dal fatto che [x]<x sempre al denminatore, menrtre l'esponente [x]+1>x e la base è maggiore di uno.

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il primo membro della disuguaglianza tende ad e infatti il numeratore tende ad e mentre il denominatore tende a 1, il terzo membrio è proprio8 che tende ad e

Pertanto per il teorema del confronto limite x che tende a infinito 

 

Limite 3

Per dimostrare questo limite basta porre y=1/x, pertanto quando x→0 y→∞ si ottiene proprio il limite che definisce il numero e

Limite 4

Basta fare il loga della funzione del limite 3

Limite 5

poniamo

limite notevole..

quando x→0 allora y→0

CodeCogsEqn (42)

pertanto 

Categoria: I limiti
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