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 Definizione di limite

 

Limite finito per x che tende ad finito

 

Definizione.

Diciamo che il limite di f(x) per x che tende ad x0 vale l, in simboli

limite

 

se comunque si prende ε>0 esiste un I(x0) completo del punto di accumulazione x0 in modo tale che per ogni x di I(x0) escluso al più il punto x0 si ha:

|f(x)-l |< ε

o in maniera equivalente

l- ε< f(x)< l+ ε 

Osservazione la relazione l- ε< f(x)< l+ ε  rappresenta due disuguaglianze

form1

 

 

Esempio: verifichiamo che

lim1

 

dobbiamo quindi trovare un intorno completo di 2 in modo tale che per ogni x appartenente a tale intorno si verifica

1-ε< 3x-5< 1+ε

si deve risolvere il sistema formato dalle due disequazioni

form

verificare che fra le soluzioni di tale  sistema vi sia un intorno completo di 2

infatti le soluzioni sono

 

 

Definizione con Geogebra

Limite infinito per x che tende ad infinito

Definizione.



 

 Diciamo che il limite di f(x) per x che tende a +∞ vale +∞, in simboli



 

se comunque si prende un K >0,   esiste un'intorno I(+∞)  di +∞  , cioè x>M>0,  , si ha:


f(x)>K per ogni x>M.


In altre parole la f(x) tende ad l per x tendente ad  ∞, quando scelto un qualunque intorno di l si trova un numero reale M

tale che per ogni x>M l'immagine cade nell'intorno scelto di l.   

Limite finito per x che tende ad infinito

Definizione.

 

 Diciamo che il limite è finito per x che tende ad infinito, l in simboli

limite x tedente ad infinito 

se comunque si prende ε>0 esiste un I(∞) completo di infinito  cioè un intervallo della forma x>M , in modo tale che per ogni xєI(∞)   si ha:

| f(x)-l |<ε

o in maniera equivalente

l-ε< f(x)< l+ε

In altre parole la f(x) tende ad l per x tendente ad  ∞, quando scelto un qualunque intorno di l si trova un numero reale M tale che per ogni |x|>M l'immagine cade nell'intorno scelto di l. 

Analoghe definizioni valgono per x->-, in tal caso per ogni x<-M deve aversi 

| f(x)-l |<ε

Definizione con Geogebra

 

Limite infinito per x che tende ad finito

Definizione: diciamo che il limite di f(x) per x che tende ad x0 vale +∞, 

in simboli

 

limite infinito                    

 

se comunque si prende un intorno di +∞, cioè un intervallo del tipo y >M  esiste un'intorno  I(x0) completo di x0, in modo tale che per ogni xє I(x0), escluso al più x0, si ha: f(x)>M.

In altre parole qualunque intorno di +∞ ha come controimmagini un insieme che contiene un intorno completo di  x0, escluso al più xstesso.


 

Video sui limiti

Introduzione sui limiti

Limite per x tendente ad infinito

Limiti di funzioni razionali

 

 

Video

I limiti con geogebra

 

 

Categoria: I limiti
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