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Sia f(x) continua in x0, con y0=f(x0) e g(y) continua allora la funzione composta g[f(x)] è continua in x0

Dimostrazione:
Siccome la funzione g(y) è continua in y0 allora comunque sia ε esiste un δ dipendente da ε tale che

|g(y)-g(y0)|<ε per tutte le y tali che |y-y0|<δ, ma anche
ossia |f(x)-f(x0)|<δ
ma anche la f(x) è continua in x0 pertanto esiste γ che dipende da delta tale queste disuguaglianze per tutte le x tali che |x-x0|<γ
in definitiva per queste x si ha |g[f(x)]-g[f(x0)]|< ε cioè g[f(x0)] è il limite, quindi g[f(x)] è continua in x0

Categoria: Funzioni continue discontinue
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