Goniometria e trigonometria

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La terzarelazione della goniometria mette in relazione le funzioni cotangente, seno e coseno

 

Per dimostrarla

terzarel1

 si consideri la circonferenza goniometrica, sia P il punto associato all'angolo α, il segmento AT corrisponde alla tangente goniometrica.

Valgono le seguenti uguaglianze:      

I triangoli POH e COB  sono simili in quanto hanno gli stessi angoli congruenti, pertanto lati corrispondenti sono proporzionali.

 

 

sostituendo le uguaglianze

 

 

 

Applicando la relazione fondamentale delle proporzioni, cioè il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Si ottiene

 

Da cui la relazione

 

 

 

 

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La seconda relazione della goniometria mette in relazione le funzioni tangente, seno e coseno

Per dimostrarla si consideri la circonferenza goniometrica, sia P il punto associato all'angolo α, il segmento AT corrisponde alla tangente goniometrica.

Valgono le seguenti relazioni:     

I triangoli POH e TOA sono simili in quanto hanno gli stessi angoli congruenti, pertanto lati corrispondenti sono proporzionali.

OH:OA=PH:AT

ma OH=cosα  

 

tange1

 

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Si chiama circonferenza goniometrica una circonferenza avente il centro nell'origine degli assi cartesiani e raggio uguale ad uno.

L'equazione generica di una circonferenza nel piano cartesiano è x2+y2+ax+by+c=0

dove a=-2a  b= -2b     c=a2+b2-r2    pertanto nel caso della circonferenza goniometrica è 

x2+y2=1

Il punto A(1;0) è detto origine degli angoli, ad ogni punto P resta associato l'angolo AOP. Per convenzione gli angoli percorsi in senso antiorario sono positivi, negativi se percorsi insenso orario.

Si realizza una corrispondenza fra gli angoli e i punti della circonferenza goniometrica evidenziata dalla tabella sottostante

 

Angolo

Punto

 0

 (1;0)

90° 

(0;1) 

180° 

(-1;0) 

270° 

(0;-1) 

360

(1;0)

-90°

(0;-1)

-180°

(-1;0)

L'unità di misura degli angoli è il grado sessagesimale, che è definito come la trencentosessasentesima parte di un angolo giro. In goniometria si utilizza una seconda unità di misura che prende il nome di radiante.

Definizione: il radiante è la misura di un angolo ed è pari  il rapporto tra la lunghezza dell'arco sotteso dall'angolo ed il raggio della circonferenza.

Nel caso della circonferenza gonimetrica in cui il raggio vale uno, la misura un radianti è uguale alla lunghezza dell'arco sotteso.

La lunghezza della circonferenza goniometrica è uguale a 2P , pertanto l'angolo giro corrisponde a a 2P. L'angolo piatto, che  vale 180 gradi in radianti corrisponde a P radianti.

Indichiamo con a l'angolo in radianti, con a°. Vale la proporzione

a:a°=P:180°

Di conseguenza applicando la relazione fondamentale delle proporzione, cioè il prodotto degli estremi è uguale al prodotto degli estremi, 

a*180°=a°*P

si ottengono le relazioni fra gradi e radianti

 

 conversione gradi radianti

e

conversione radianti e gradi

 

 

La tabella sottostante indica la relazione fra gradi e radianti

 

Gradi  Radianti 
 0°  0
 30° P/6
45° P/4
 60° P/3
90° P/2
180° P
360° 2P

 

 

 

 

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