Equazioni

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La regola di Cartesio permette di trovare, in un'equazione di secondo grado che ammette soluzioni reali, il segno delle soluzioni senza calcolarle.

Si dice che un'equazione di secondo grado ha una variazione se ha  due coefficienti dello stesso segno discordi, una permanenza se ha due coefficienti consecutivi concordi.

Essa afferma che se l'equazione ammette soluzioni reali allora il numero di soluzioni positive è uguale al numero di variazioni, il numero di soluzioni negative è uguale al numero di permanenze.

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Un'equazione è un'uguaglianza in cui compare una lettera, detta incognita, che è verificata per particolari valori della stessa.

Questi valori sono detti soluzioni. Risolvere l'equazione significa trovare tutte le soluzioni. L'espressione che compare a sinistra dell'uguale si dice primo membro, quella che sta alla destra secondo membro.   Le equazioni vengono utilizzate spesso nella risoluzione di problemi, in cui si deve ricavare un dato incognito. Basta trovare delle uguaglianze che legano l'incognita con altri dati del problema. Risolvendo l'equazione si ricava il valore incognito.

Per esempio dovendo trovare quel numero che sommato al proprio doppio si ottiene 12, indicando con x il dato incognito, avremo potuto scrivere l'equazione x+2x=12.

La soluzione rappresenta il numero cercato.

Pertanto per verificare la correttezza delle soluzioni occorre sostituire il valore trovato al posto dell'incognita, se si ottiene un'uguaglianza, cioè il primo membro uguale al secondo.

Si chiama grado di un'equazione l'esponente più alto con cui essa compare.

Due equazioni sono equilvalenti se hanno le stesse soluzioni.

 

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In una equazione di primo grado  l'incognita compare solo con l'esponente uguale ad uno.

Per risolvere un'equazione di primo grado, occorre isolare l'incognita al primo membro, per fare ciò si devono usare le proprietà delle equazioni.

Basta seguire i seguenti passaggi:

  • facendo uso della legge del trasporto,si trasportano i termini con l'incognita vanno al primo membro , mentre quelli con i termini noti vanno al secondo.
  • si dividono ambo i membri per il coefficiente della x per trovare la soluzione.

Esempio:

  3x-7=5x+13

  • 3x-5x=13+7 → -2x=20  si sono trasportati i termini con l'incognita al primo membro, gli altri al secondo 
  • x=-10    si sono divisi per -2 primo e secondo membro

Per verificare la correttezze della soluzione nbasta sostituire -10 al posto della x nell'equazione di partenza

infatti

3·(-10)-7=5·(-10)+13 → -30-7=-50+13→ -37=-37

Il primo membro è uguale al secondo pertanto l'uguaglianza è verificata.

Una equazione di primo grado può essere:

  1. determinata, se ammette una sola soluzione;
  2. indeterminata, se ammette infinite soluzioni
  3. impossibile, se non ammette soluzioni

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 Ciascuna delle operazioni elementari delle equazioni da luogo ad una proprietà.

      1. sommando una stessa quantità al primo ed al secondo membro si ottiene una equazione equivalente;

      2. sottraendo una stessa quantità al primo ed al secondo membro si ottiene una equazione equivalente;

      3. moltiplicando il primo ed al secondo membro per uno stesso numero diverso da zero si ottiene una equazione equivalente;

      4. dividendo il primo ed al secondo membro per uno stesso numero diverso da zero si ottiene una equazione equivalente.

Da queste proprietà scaturisce la cosidetta legge del trasporto, per trasportare un termine da un membro all'altro è sufficiente cambiarlo di segno.

Esempio:

3x-5=7→ 3x=7+5

usando la prima proprietà si poteva aggiungere 5 al primo ed al secondo membro ottenendo così lo stesso risultato.

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Un'equazione si dice fratta se contiene l'incognita al denominatore. A  differenza delle equazioni intere in cui era possibile eliminare i denominatori trattandosi di numeri, in questo caso bisogna prestare attenzione, in quanto per certi valori dell'incognita questo denominatore potrebbe annullarsi. In questo caso, pertanto, non è corretto moltiplicare o dividere per zero primo e secondo membro. Di conseguenza, quando si elimina il denominatore occorre imporre le condizioni di esistenza delle soluzioni. Una volta eliminato il denominatore, l'equazione si risolve come una normale equazione intera. Alla fine occorre confrontare le soluzioni trovate con il campo di esistenza. Se queste erano escluse dal campo di esistenza, allora non sono accettabili.

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